Mathematischer Raum: Hilbertraum, Vektorraum, Metrischer Raum, Topologischer Raum, Euklidischer Raum, Banach-Raum - neues Buch

Quelle: Wikipedia. Seiten: 481. Nicht dargestellt. Kapitel: Hilbertraum, Vektorraum, Metrischer Raum, Topologischer Raum, Euklidischer Raum, Banach-Raum, Hierarchie mathematischer Strukturen, Verband, Normierter Raum, Uniformer Raum, Nuklearer Raum, Kompakter Raum, Lie-Gruppe, Lp-Raum, Dualraum, Garbe, Zusammenhängender Raum, Prähilbertraum, Lokalkonvexer Raum, Funktionenraum, Hardy-Raum, Tangentialraum, Folgenraum, Modul, Sobolew-Raum, Kolmogoroff-Raum, Banachalgebra, Vollständiger Raum, Schwartz-Raum, Gleichmäßig konvexer Raum, C*-Algebra, (LF)-Raum, Koalgebra, Topologische Gruppe, Von-Neumann-Algebra, Normaler Raum, Calkin-Algebra, Algebra über einem Körper, Tonnelierter Raum, Vollständig regulärer Raum, Kreinraum, Bornologischer Raum, H*-Algebra, (DF)-Raum, Reflexiver Raum, Niemytzki-Raum, Affiner Raum, Topologischer Vektorraum, James-Raum, Raum mit Gewebe, Schatten-Klasse, Montel-Raum, Hausdorff-Raum, Kelley-Raum, Ultrabornologischer Raum, Arens-Fort-Raum, Lokal kompakter Raum, Faktorraum, Einfacher Modul, Projektiver Raum, Metrisierbarer lokalkonvexer Raum, Sorgenfrey-Ebene, Minkowski-Raum, T1-Raum, Polnischer Raum, Teichmüller-Raum, Hölder-Raum, Schema, BMO-Raum, Sorgenfrey-Gerade, Unterraum, Komplex, Fréchet-Raum, Parakompakter Raum, Haar-Raum, Quasinormierbarer Raum, R0-Raum, Präregulärer Raum, Urysohn-Raum, Absolutkonvexe Menge, Vollständiger Hausdorff-Raum, Algebra über einem kommutativen Ring, Wahrscheinlichkeitsraum, Attributraum, Verbindungsraum, Parakompakter Hausdorff-Raum, Distinguierter Raum, W*-Algebra, GDF-Raum, Strikt konvexer Raum, Halbreflexiver Raum, Mackey-Raum, Banach-Mazur-Kompaktum, Minkowski-Kompaktum, Köthe-Raum, (LB)-Raum, Perfekt normaler Raum, Total normaler Raum, Vollständig normaler Raum, Tychonoff-Raum, Quasitonnelierter Raum, Hilbert-Schmidt-Klasse, Maßraum, R1-Raum, T4-Raum, T0-Raum, T3-Raum, T2-Raum, T5-Raum, Spurklasse. Auszug: Zunächst bezeichnet der Begriff euklidischer Raum den "Raum unserer Anschauung" wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie). Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende physikalische Raum beschrieben wird. Der Zusatz "euklidisch" wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere Raumkonzepte (z. B. hyperbolischer Raum, riemannsche Mannigfaltigkeiten) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden (Minkowski-Raum, Lorentz-Mannigfaltigkeit). Im Laufe der Zeit wurde Euklids Geometrie auf verschiedene Arten präzisiert und verallgemeinert: Wenn vom euklidischen Raum die Rede ist, dann kann jede von diesen gemeint sein oder auch eine höherdimensionale Verallgemeinerung. Den zweidimensionalen euklidischen Raum nennt man auch euklidische Ebene (siehe auch Ebene (Mathematik)). Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann und demzufolge die Abbildungen auszeichnet, die Längen und Winkel erhalten. Diese nennt man traditionell Kongruenzabbildungen, andere Bezeichnungen sind Bewegungen und Isometrien. Vom hyperbolischen Raum unterscheidet er sich dadurch, dass das Parallelenaxiom gilt. In der analytischen Geometrie ordnet man dem euklidischen Raum einen Vektorraum zu. Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist, die Menge der Parallelverschiebungen (Translationen) zu nehmen, versehen mit der Hintereinanderausführung als Addition. Jede Verschiebung lässt sich durch einen Pfeil beschreiben, der einen Punkt mit seinem Bildpunkt verbindet. Dabei beschreiben zwei Pfeile, die parallel sind und die gleiche Länge haben, dieselbe Verschiebung. Man nennt zwei solche Pfeile äquivalent und nennt die Äquivalenzklassen Vektoren. Wählt man im euklidischen Raum einen Punkt als Bezugspunkt (Ursprung) aus, so kann man jedem Pu